By Alfred North Whitehead

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4 4 4. x x – 0 p + p π– 3 3 Chapitre 3 Fonctions trigonométriques et dérivation – Term S spécifique 45 Fonctions à dérivées non continues ❯ On peut conjecturer que f est continue en 0, mais il est difficile de faire les autres conjectures. ❯ En 2 , le logiciel calcule la limite de f en 0. Réponse du logiciel : lim f (x) = 0. x→0 Pour tout réel x  0, –1  sin 1  1 donc –x 2  f (x)  x 2. x D’après le théorème des gendarmes, lim f (x) = 0. x→ 0 x> 0 On démontre de même que lim f (x) = 0. x→ 0 x< 0 lim f (x) = lim f (x) = f (0) = 0 donc f est continue en 0.

3. f ’(x) = cos x + sin = 2 (cos x )2 (cos x ) 4. –π x 0 2 f ’ (x) f + + 0 5. T a pour équation : y = f ’(0)x + f (0). Comme f ’(0) = 1 et f (0) = 0, T a pour équation y = x. 6. f (x) – x = sin x − x cos x . cos x Sur I, cos x  0 donc f (x) – x est du signe de sin x – xcos x. Soit g la fonction définie sur I par g (x) = sin x – xcos x, g’(x) = cos x – (cos x – xsin x) = xsin x. Sur ⎤ – π ; 0 ⎤ , x  0 et sin x  0 donc g’(x)  0. ⎦ 2 ⎦ Sur ⎡0 ; π ⎡, x  0 et sin x  0 donc g’(x)  0. ⎣ 2⎣ Pour tout réel x de I, g’(x)  0 et donc g est croissante.

Par exemple, f définie par f (x) = sin x + 1 est telle que f ’(x) = cos x mais f (x) ≠ sin x. 74 VRAI : f (x) = cos(–x) = cos x donc f ’(x) = – sin x. 75 VRAI : f ’(x) = 2 × 2(–sin x)cos x = –4sin x cos x et g’(x) = 2 × [–sin(2x)] = – 4sin x cos x. 76 FAUX : comme f (x) = 1 – g(x), f ’(x) = –g’(x). 77 2. f (–x) = –f (x) : on complète f sur [–2p ; 0] par symétrie par rapport à l’origine du repère. 3. f (x + 4p) = 0,5sin(0,5x + 2p) = f (x) : on complète f par c translation de vecteur 4pi . 69 f ’ (x) = y –π 2 0 π –π – 2π ) ( 0,5 – 3π 2 2.

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